Cours — les 5 leçons Laboratoire — circuit RL en direct Courbes — i(t) et la tangente Quiz — 12 questions chronométrées Jeux — Trouve τ · Memory · Méthode BAC BAC — exercice type & fiche express Mon parcours — XP & badges
Relation de la bobineuL = L · di/dt
Constante de tempsτ = L / R
Énergie magnétiqueEL = ½ · L · i²
Réponse à l'écheloni(t) = I₀(1 − e−t/τ)
2ÈME BAC SCIENCES PHYSIQUES · SM — PC · PROGRAMME MAROCAIN

Le Dipôle
RL

« La bobine s'oppose aux variations du courant. »

L'établissement du courant, l'équation différentielle du premier ordre, la constante de temps τ = L/R, la tangente à l'origine et l'énergie magnétique — le cours complet, vivant : banc d'expérience interactif, courbes dynamiques, quiz chronométré et trois jeux de révision.

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01 — Cours · Programme 2BAC

Le cours, leçon par leçon

Cinq leçons alignées sur le programme marocain de 2ème Bac (Sciences Mathématiques & Sciences Physiques). Coche « Leçon assimilée » à la fin de chaque leçon pour remplir ta progression et débloquer des badges.

Une bobine est un fil conducteur émaillé enroulé en solénoïde. Elle se caractérise par son inductance L, exprimée en Henry (H). En convention récepteur, une bobine idéale (sa résistance interne est négligeable) vérifie la relation caractéristique :

Bobine idéale$$u_L = L\,\frac{di}{dt}$$

Une bobine réelle présente une résistance interne r faible : on la modélise par une bobine idéale en série avec un résistor r :

Bobine réelle$$u = L\,\frac{di}{dt} + r\,i$$

Grâce au phénomène d'auto-induction, la bobine s'oppose à toute variation du courant qui la traverse : c'est exactement comme un volant d'inertie mécanique qui s'oppose aux changements de vitesse. En régime permanent continu, le courant ne varie plus, donc di/dt = 0, et la bobine idéale se comporte comme un simple fil de connexion (uL = 0).

Elle emmagasine de l'énergie dans son champ magnétique :

Énergie emmagasinée$$E_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2$$

Piège BAC n°1La tension aux bornes d'une bobine n'est pas proportionnelle au courant : elle est proportionnelle à sa dérivée. uL = L·i est une grave erreur, sanctionnée par les correcteurs.

On ferme K à t = 0 dans un dipôle RL série (générateur de f.é.m. E, résistor R, bobine d'inductance L et de résistance négligeable). La loi d'additivité des tensions (loi des mailles) donne :

Loi d'additivité des tensions$$E = u_R + u_L$$

Avec uR = R·i et uL = L·di/dt, on obtient l'équation différentielle du premier ordre :

Équation différentielle$$L\,\frac{di}{dt} + R\,i = E$$

La solution respectant la condition initiale i(0) = 0 (le courant ne peut pas sauter dans une bobine) est :

Solution — établissement$$i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \tau = \frac{L}{R}$$
Tensions correspondantes$$u_R(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad\qquad u_L(t) = E\,e^{-t/\tau}$$

$$L\,\frac{di}{dt} + (R+r)\,i = E \;\Longleftrightarrow\; \tau\,\frac{di}{dt} + i = I_0 \qquad R' = R + r,\;\; \tau = \frac{L}{R'},\;\; I_0 = \frac{E}{R'}$$
$$i(t) = I_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
$$u_L(t) = E\,e^{-t/\tau} + \frac{rE}{R'}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

$$\frac{du_R}{dt} = -\,\frac{R+r}{L}\,u_R + \frac{R\,E}{L}$$

$$L = \frac{R\,E}{b} \qquad\qquad r = \frac{R\,E}{u_{R,\infty}} - R$$

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{u_R}{\tau} = \beta \qquad \tau = \frac{L}{R+r} \quad \beta = \frac{R\,E}{L} \qquad u_R(t) = A\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \quad A = \frac{R\,E}{R+r}$$

Vérification type BAC : en dérivant, di/dt = (E/L)·e−t/τ, donc L·di/dt = E·e−t/τ et R·i = E(1 − e−t/τ). La somme vaut bien E. Vérifier une solution en la replaçant dans l'équation rapporte toujours des points.

Après 5τ, on dit que le régime permanent est atteint : le courant s'est stabilisé à I₀ = E/R et uL est nulle.

La constante de temps caractérise la rapidité d'évolution du courant. Son unité se vérifie par analyse dimensionnelle : H/Ω = (V·s·A⁻¹)/(V·A⁻¹) = seconde.

Constante de temps$$\tau = \frac{L}{R}\;[\mathrm{s}]$$

Interprétation : à t = τ, i(τ) = I₀(1 − e⁻¹) ≈ 0,63·I₀ (63 %). À t = 5τ, le courant a atteint 99 % de I₀ : le régime permanent est établi. Augmenter L ou diminuer R ralentit l'établissement.

Méthode graphique (exigible au BAC) : la tangente à l'origine de la courbe i(t) a pour équation i = (E/R)·(t/τ). Elle coupe donc l'asymptote horizontale i = I₀ exactement à t = τ :

Tangente à l'origine$$i_{\text{tan}}(t) = \frac{E}{R}\cdot\frac{t}{\tau} \;\;\Rightarrow\;\; i_{\text{tan}}(\tau) = \frac{E}{R} = I_0$$

La pente à l'origine vaut di/dt(0⁺) = E/L : c'est elle qu'on exploite graphiquement pour mesurer τ sans connaître L ni R.

Piège BAC n°2τ n'est pas R/L ni RC. Si tu doubles L, τ double ; si tu doubles R, τ est divisée par 2. L'axe des abscisses sur les courbes d'examen est presque toujours en millisecondes : convertis sans faute (4 ms = 4×10⁻³ s).

La puissance instantanée reçue par la bobine idéale s'écrit :

Puissance reçue$$p(t) = u_L \cdot i = L\,i\,\frac{di}{dt}$$

L'énergie emmagasinée entre 0 et t est l'intégrale de cette puissance : EL = ∫L·i·di = ½Li². La bobine stocke donc de l'énergie sous forme magnétique, sans aucune perte (bobine idéale) :

Énergie magnétique$$E_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2$$

En régime permanent (charge complète), l'énergie est maximale : EL,max = ½·L·(E/R)². Exemple chiffré type BAC : pour E = 6 V, R = 100 Ω, L = 0,4 H :

Application numérique$$E_{L,\max} = \tfrac{1}{2}\times 0{,}4\times\left(\frac{6}{100}\right)^2 = 7{,}2\times10^{-4}\;\mathrm{J} = 0{,}72\;\mathrm{mJ}$$

En décharge, cette énergie est intégralement restituée à la résistance du circuit, où elle est dissipée par effet Joule.

$$p = u_L\,i = r\,i^2 + \frac{d}{dt}\!\left(\tfrac12 L\,i^2\right)$$

On bascule K en position 2 : la bobine, chargée sous I₀, se décharge dans R sans générateur. La loi des mailles donne une équation homogène :

Équation du régime libre$$u_L + u_R = 0 \;\;\Rightarrow\;\; L\,\frac{di}{dt} + R\,i = 0$$
Solution — décharge$$i(t) = I_0\,e^{-t/\tau} \qquad u_L(t) = -R\,I_0\,e^{-t/\tau}$$

Le signe « − » de uL traduit que la bobine devient un générateur : elle restitue son énergie pour maintenir le courant qui s'éteint exponentiellement avec la même constante τ = L/R.

Rupture du courant : si l'on ouvre brutalement l'interrupteur alors que i ≠ 0, le courant doit s'annuler en un temps très court. Comme di/dt devient énorme, la tension uL = L·di/dt devient énorme : la tension aux bornes de l'interrupteur devient suffisante pour créer un arc électrique. C'est le principe des bobines d'allumage et des relais — et la raison pour laquelle on ne coupe jamais un circuit inductif chargé.

$$i(t) = I_0\,e^{-t/\tau} \qquad u_L(t) = -R\,I_0\,e^{-t/\tau} = E\left(\frac{r}{R'} - 1\right)e^{-t/\tau}$$
Piège BAC n°3En décharge, uL = −R·i (sens opposé à la charge). Beaucoup d'élèves écrivent +R·i et perdent des points.
02 — Laboratoire virtuel

Le banc d'expérience, en direct

Ferme l'interrupteur K, choisis la charge (position 1) ou la décharge (position 2), règle E, R et L — puis observe le courant s'installer... ou se couper net avec une surtension d'arc si tu ouvres K à pleine puissance.

Banc d'expérience · Dipôle RL série
12 V
100 Ω
0.50 H
0 Ω
Oscilloscope · Voie i(t) OUVERT
5.00 ms
120.0 mA
0.00 mA
0.00 V
0.00 V
0.00 mJ

La courbe cyan est i(t). La ligne pointillée ambrée marque τ : l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote i = I₀. La ligne 63 % (charge) ou 37 % (décharge) s'y croise exactement — c'est la définition opérationnelle de τ.

Voir les courbes théoriques →
03 — Courbes & tangente

La méthode des tangentes

Règle E, R et L : les courbes i(t), u_R(t) et u_L(t) se redessinent en direct, avec la tangente à l'origine et le repère t = τ. C'est exactement la figure qu'on te demandera d'exploiter le jour de l'examen.

12 V
100 Ω
0.50 H
0 Ω
5.0 ms
120 mA
25.0 ms
3.60 mJ
Lecture d'examenL'ordonnée de la tangente à l'origine vaut 100 % à t = τ. Si l'énoncé te donne la pente, τ = (I₀)/(pente).
i(t) · u_R(t) · u_L(t) en % de E survol = valeurs exactes
04 — Quiz chronométré

QCM style BAC

Es-tu maître du dipôle RL ?

12 questions de niveau 2ème Bac. 18 secondes par question. Clique vite, mais raisonne juste.

12 QUESTIONS 18 S / QUESTION + CORRECTION DÉTAILLÉE

QUESTION 1 / 12
Score : 0
Question…
Bonne réponse

Explication…
Réponds avant la fin du chrono
0 %réussite
Résultat

Meilleur score : 0 %

Voir la fiche BAC
05 — Aire de jeux

Réviser en s'amusant

Trois jeux construits sur les notions clés du programme. Chaque victoire rapporte des XP et des badges.

Jeu 1 · Trouve τ ŒIL DU PHYSICIEN
0
×0
1

Lis la courbe.
Trouve τ.

La courbe montre une charge i(t). Sers-toi de la ligne 63 % : l'abscisse de l'intersection te donne τ.

Meilleur score : 0

Fin de partie

0

Meilleur score : 0

Jeu 2 · Memory BAC 8 PAIRES
Coups : 0 Temps : 0:00
Jeu 3 · L'Exercice d'Or — ordonne la démonstration MÉTHODE DE RÉSOLUTION
Étapes disponibles — clique pour ranger dans l'ordre
Séquence à reconstituer
06 — Examen & révision finale

Le jour J-1

Un exercice type BAC résolu pas à pas, la fiche express de toutes les formules, les pièges classiques et la méthode en 4 temps.

Exercice type BAC · corrigé détaillé EXERCICE TYPE
Énoncé

On réalise le montage ci-contre : un générateur de f.é.m. E = 6 V, un résistor de résistance R = 100 Ω et une bobine d'inductance L = 0,40 H et de résistance négligeable. À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K. On note i(t) le courant dans le circuit.

E + K R L
  1. Établir l'équation différentielle vérifiée par i(t).
  2. Vérifier que i(t) = 0,06·(1 − e−250t) est solution (t en secondes).
  3. En déduire τ, la valeur de i à t = τ et l'énergie emmagasinée en régime permanent.
  4. Déterminer l'expression de uL(t) et de la pente à l'origine.
01Loi d'additivité des tensions dans une maille série : E = uR + uL. Comme uR = R·i et uL = L·di/dt : L·di/dt + R·i = E.
02Vérification : i(t) = 0,06(1 − e−250t) ⇒ di/dt = 0,06×250·e−250t = 15·e−250t. Donc L·di/dt = 0,4×15·e−250t = 6e−250t ; R·i = 6(1 − e−250t). Somme : 6e−250t + 6 − 6e−250t = 6 = E. Solution vérifiée.
03Constante de temps : par identification e−t/τ = e−250t, donc τ = 1/250 = 4 ms (on retrouve bien τ = L/R = 0,4/100). À t = τ : i = 0,06(1 − e⁻¹) ≈ 37,9 mA (63 % de I₀).
04Régime permanent : I₀ = E/R = 6/100 = 60 mA ; uL = 0 et l'énergie emmagasinée : EL = ½Li² = ½×0,4×(0,06)² = 7,2×10⁻⁴ J = 0,72 mJ.
05Tension bobine : uL(t) = L·di/dt = 6e−250t V. Pente à l'origine : di/dt(0⁺) = E/L = 15 A/s — c'est cette valeur que la tangente à l'origine matérialise graphiquement.
Fiche express · à photographier 12 FORMULES
$$u_L = L\frac{di}{dt}$$
$$u = L\frac{di}{dt} + ri$$
$$E = u_R + u_L$$
$$L\frac{di}{dt} + Ri = E$$
$$i = \tfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$
$$i = I_0\,e^{-t/\tau}$$
$$\tau = \frac{L}{R}$$
$$I_0 = \frac{E}{R}$$
$$u_L = E\,e^{-t/\tau}$$
$$E_L = \tfrac12 L i^2$$
$$\frac{di}{dt}(0^+) = \frac{E}{L}$$
$$t_{99\%} \approx 5\tau$$
Les pièges classiques du BAC
τ = R/L au lieu de τ = L/R. Vérifie toujours avec l'analyse dimensionnelle : H/Ω = s.
Écrire uL = L·i. La bobine réagit à la dérivée du courant : uL = L·di/dt, point final.
Oublier que i(0⁺) = i(0⁻) = 0 : le courant ne peut jamais varier brutalement dans une bobine.
Oublier la résistance interne r de la bobine réelle : dans l'équation, (R + r) remplace R.
Mauvaise unité d'axe : les temps des courbes d'examen sont en millisecondes, convertis toujours (τ = 4 ms = 4×10⁻³ s).
Signe de uL en décharge : uL = −R·i. La bobine passe en mode générateur.
La méthode en 4 temps

Applique toujours ces 4 temps à tout exercice de dipôle RL, sans réfléchir :

1
La loi de la maille

Écris la loi d'additivité des tensions : E = u_R + u_L (charge) ou u_L + u_R = 0 (décharge).

2
Remplace par les relations

u_R = R·i et u_L = L·di/dt : il en sort l'équation différentielle du premier ordre.

3
Exploite les conditions initiales

i(0) = 0 à l'établissement, i(0) = I₀ à la décharge : les constantes de la solution sont déterminées.

4
Identifie τ et vérifie

Par τ = L/R, par i(τ) = 0,63·I₀ ou par la tangente : trois voies de vérification, utilise-les toutes.

07 — Mon parcours

Ta progression

Chaque leçon assimilée, chaque question juste et chaque partie gagnée nourrissent ton expérience. Vise le grade de Maître du dipôle RL.

Grade actuel

Curieux du courant

0/ 200 XP

Prochain grade à 200 XP — le dipôle RL n'attend pas.

Leçons assimilées0 / 5
Meilleur score au quiz0 %
Meilleur score · Trouve τ0
XP total accumulé0 XP

Badges de bachelier

Six badges à débloquer. Chacun récompense une facette de ta maîtrise du dipôle RL.

Lecteur assiduLes 5 leçons assimilées
L'ObservateurQuiz réussi à 70 % ou plus
Œil d'Aigle800 points au jeu Trouve τ
La MémoireLes 8 paires reconstituées
MéthodologueL'exercice d'or ordonné
Grand Maître RL900 XP accumulés